Page:Philosophical Transactions - Volume 003.djvu/264

(884)

B	2B
C	D
E	F
G	H
Z
a	x
$\mathrm {V} ax$	${\frac {2ax}{a+\mathrm {V} ax}}$
m
n

Series convergens ut sit ejus terminatio seu Circuli Secror Z. Dico, Z non posse componi Analytice ex Polygonis definitis 2B. Si fieri potest, eomponatur Z. Analytice ex Polygonis Definitis B, 2 B. sintq; duæ quantitates Indefinitæ a & x, e quibus componatur m eodem modo, quo Z componitur à quantitatibus B, 2B; Item eodem modo componatur n ex quantitatibus $Vax{\frac {2ax}{a+Vax}}$: quantttates m, n, non sunt indefinite æquales ex prop. 11^ma. Si igitur inter m & n fingatur æquatio; a manente quantitate indefinita; æquatico inter m & n tot habebit radices seu quantitates in quas resolvitur x, quot quantitatum, inter se diversas rationes habentium, binarii sunt in rerum natura, quæ vices quantitatum a, x, subire possunt, h. e. quæ eandem quantitatem Analytice ex se ipsis componunt eodem modo, quo eadem quantitas componitur ex ipsarum media Geometrica $\mathrm {V} ax$, & ex media Harmonica inter dictam mediam Geometricam &x, nempe ${\frac {2ax}{a+Vax}}$ ita ut compositio sit eodem modo quo Z componitur ex B & 2B: atque ex Confectario Prop. 10^mæ, omnes quantitatum binarii, rationes quoque diversas inter se habentium, B 2B, CD, EE, GH, &c. in infinitum, possunt supplere vices quantitatum a, x, quoniam Z eodem modo componitur ex B 2B, quo ex CD, EF, vel GH, &c. & proinde æquatio inter m & n radices habet numero infinitas. Sed omnis æquatio habet ad summum tot radices, quot habet dimensiones; & proinde æquatio intern m & n dimensiones habet numero infinitas, quod est absurdum; ideoq; Z seu Circuli Sector non potest Analytice componi ex Polygonis definitis, B, 2B. quod demonstrand. erat. Hinc manifestum est, Terminationem cujuslibet seriei convergentis, si non possit componi ex terminis convergentibus indefinite, nec posse componi definite; adeoq; evanescit simul cum nostra distinctione Objectio Hugenii prima. Idem in Objectione sua secunda non videtur advertisse, me non solum in Prop. 11^ma, sed etiam in toto meo Tractatulo intelligere per Extractionem radicum, Resolutionem omnium potestatum sive purarum sive affectarum; omnium quippe eadem est ratio, neque ulla imaginabilis est in demonstratione diversitas, sive Sector supponatur Radix alicujus potestatis puræ, sive affectæ ad puram irreducibilis. Nam si Sector eodem modo fiat ex primis terminis convergentibus quo ex secundis (ut in Confect. prop 10^mæ est demonstratum) etiam omnes ejus potestates sive puræ sive quocunque modo affectæ eodem modo componitur é primis quo é secundis terminis convergentibus, quæ (in Analyticis exhibitæ, erunt æquales quantitates eodem modo Analytice compoisitæ ex primis quo ex secundis terminis convergentibus; quod est absurdum, nempe contra Prop 11^mam admissam. Sensus igitnr integer Prop. 11^æ est; Hoc Problema (E datis duo-